Suponha que a série sumn=1^+infty an diverge e que an>0, forall n in N. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
c. sumn=1^+infty ann^2 an+1 é sempre convergente.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita que não converge (ou seja, ela diverge) e onde cada termo é positivo. A pergunta é sobre a série : ela sempre converge? Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de séries infinitas, convergência e algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se a série original diverge e todos os são positivos, isso significa que os termos não estão decrescendo rápido o suficiente para que a soma finita exista. Nosso objetivo é ver se, ao modificar cada termo dessa série para , a nova série passa a convergir.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do termo geral ann^2 an+1 = 1n^2 + 1an . Observamos que o denominador cresce com , o que pode ajudar a diminuir o valor do termo geral. Para entender melhor, vamos simplificar a expressão:
Como é positivo e a série diverge, isso implica que tende a zero conforme aumenta. Logo, tende ao infinito, fazendo com que o denominador seja dominado por .

Passo 4

Agora, vamos comparar a nova série ann^2 an+1 <= ann^2 an = 1n^2 com uma série conhecida. Observamos que:
Isso porque , então o denominador é maior, fazendo o quociente menor. Sabemos que a série é uma série p com , que é convergente (pois ).

Passo 5

Pela comparação direta, já que cada termo da série é menor ou igual a , e converge, então pela Teste da Comparação a série também converge.

Resposta

Verdadeira. A série sempre converge, pois cada termo é menor ou igual a , e a série é convergente.

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