Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
c.
é sempre convergente.
c.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita
que não converge (ou seja, ela diverge) e onde cada termo
é positivo. A pergunta é sobre a série
: ela sempre converge? Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de séries infinitas, convergência e algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se a série original
diverge e todos os
são positivos, isso significa que os termos
não estão decrescendo rápido o suficiente para que a soma finita exista. Nosso objetivo é ver se, ao modificar cada termo dessa série para
, a nova série passa a convergir.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do termo geral
. Observamos que o denominador cresce com
, o que pode ajudar a diminuir o valor do termo geral. Para entender melhor, vamos simplificar a expressão:
Como
é positivo e a série
diverge, isso implica que
tende a zero conforme
aumenta. Logo,
tende ao infinito, fazendo com que o denominador
seja dominado por
.
Passo 4
Agora, vamos comparar a nova série
com uma série conhecida. Observamos que:
Isso porque
, então o denominador é maior, fazendo o quociente menor. Sabemos que a série
é uma série p com
, que é convergente (pois
).
Passo 5
Pela comparação direta, já que cada termo da série
é menor ou igual a
, e
converge, então pela Teste da Comparação a série
também converge.
Resposta
Verdadeira. A série
sempre converge, pois cada termo é menor ou igual a
, e a série
é convergente.
Exercícios relacionados
O valor de revenda de certa máquina industrial diminui durante um período de 10 anos a uma taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tem
anos de idade, a taxa com a qual o valor está diminuindo é
reais por ano. Qual é a depreciação da máquina durante o segundo ano?
Analise a convergência absoluta, condicional ou divergência de cada série abaixo:
R.: absolutamente convergente
Encontre uma fórmula para a função inversa.
(a)
(a)
Uma empresa criou uma linha de montagem para fabricar um novo modelo de telefone celular. A taxa de produção dos telefones é
Quantos telefones serão produzidos durante o terceiro mês?