Analise a convergência (ou não) da série abaixo:
sumn=1^infty 5^n cdot n!(2 n)^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries envolvendo fatorial e potências. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o an = 5^n cdot n!(2 n)^n da nossa série:
an+1 = 5^n+1 cdot (n+1)!(2 (n+1))^n+1
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = 5^n+1 cdot (n+1)!(2 (n+1))^n+1 cdot (2 n)^n5^n cdot n! :
= 5 cdot (n+1) cdot (2 n2 (n+1))^n cdot 12(n+1)
Simplificando os termos:
= 52 cdot (nn+1)^n

Passo 5

Vamos calcular o limite quando L = limn to infty 52 cdot (nn+1)^n tende ao infinito:
(nn+1)^n = (1 - 1n+1)^n approx 1e
Sabemos que:
L = 52 cdot 1e approx 52 cdot 2,718 approx 55,436 approx 0,92
Então:

Passo 6

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados