Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique seus argumentos.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita:
E precisamos descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente ignora o termo alternado e analisa a série dos valores absolutos:
Para entender o comportamento dessa série, vamos simplificar a fração para valores grandes de :
A série é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela diverge. Como nossa série é semelhante à série harmônica para grandes , isso indica que a série dos valores absolutos também diverge. Ou seja, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora que vimos que a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
No nosso caso, temos:
Primeiro, vamos calcular o limite:
Isso satisfaz a terceira condição. Agora, vamos ver se é decrescente. Observando a expressão , à medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que diminua. Portanto, as duas primeiras condições também são satisfeitas.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados

Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace .
Utilizando esta propriedade mostre:
a) senat , sabendo-se que cosat .
Justifique a convergência da série abaixo e calcule a soma correspondente:
Find by implicit differentiation.
Analise a convergência (ou não) da série abaixo: