Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique seus argumentos.
sumn=1^infty(-1)^n-1 cdot n^2n^3+10

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita:
sumn=1^infty (-1)^n-1 cdot n^2n^3+10
E precisamos descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente ignora o termo alternado sumn=1^infty n^2n^3+10 e analisa a série dos valores absolutos:
n^2n^3+10 approx n^2n^3 = 1n
Para entender o comportamento dessa série, vamos simplificar a fração para valores grandes de :
A série é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela diverge. Como nossa série é semelhante à série harmônica para grandes , isso indica que a série dos valores absolutos também diverge. Ou seja, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora que vimos que a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma bn = n^2n^3+10 converge se:
  1. Os termos limn to infty n^2n^3+10 = limn to infty 1n + 10n^2 = 0 são positivos.
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
No nosso caso, temos:
Primeiro, vamos calcular o limite:
Isso satisfaz a terceira condição. Agora, vamos ver se é decrescente. Observando a expressão , à medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que diminua. Portanto, as duas primeiras condições também são satisfeitas.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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