Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique seus argumentos.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita:
E precisamos descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente ignora o termo alternado
e analisa a série dos valores absolutos:
Para entender o comportamento dessa série, vamos simplificar a fração para valores grandes de
:
A série
é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela diverge. Como nossa série é semelhante à série harmônica para grandes
, isso indica que a série dos valores absolutos também diverge. Ou seja, a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora que vimos que a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência decrescente. -
.
No nosso caso, temos:
Primeiro, vamos calcular o limite:
Isso satisfaz a terceira condição. Agora, vamos ver se
é decrescente. Observando a expressão
, à medida que
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que
diminua. Portanto, as duas primeiras condições também são satisfeitas.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
.
Utilizando esta propriedade mostre:
a) senat
, sabendo-se que
cosat
.
Utilizando esta propriedade mostre:
a)
Justifique a convergência da série abaixo e calcule a soma correspondente:
Find
by implicit differentiation.
Analise a convergência (ou não) da série abaixo: