Analise a convergência (ou não) das séries a seguir: sumn=1^infty 2 n cdot sen(1n)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a pergunta está pedindo. Temos que analisar se a série sumn=1^infty 2n cdot sen(1n) converge ou não. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de séries infinitas e saber aplicar testes de convergência. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é an = 2n cdot sen(1n). Para determinar se a série converge, uma coisa importante é verificar o limite desse termo quando n tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que, quando x é bem pequeno, sen(x) é aproximadamente igual a x. Então, quando n fica muito grande, 1n fica bem pequeno, e podemos aproximar:
sen(1n) approx 1n

Passo 4

Substituindo essa aproximação no termo geral, temos:
an approx 2n cdot 1n = 2
Então, o limite de an quando n tende ao infinito é:
limn to infty an = 2

Passo 5

Agora, lembra que uma condição necessária para a convergência de uma série é que o limite do termo geral seja zero. Se o limite não for zero, a série não converge. Nesse caso, como o limite é 2, que não é zero, já podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2n cdot sen(1n) não converge.

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