Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
a)
b)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções e precisamos descobrir o domínio de cada uma, ou seja, todos os valores de e para os quais as funções estão definidas. Para isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações em funções de duas variáveis.

Passo 2

Parte a)

Primeiro, vamos focar na primeira função. Ela envolve duas raízes quadradas. Sabemos que o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real.

Passo 3

Vamos escrever as condições para cada raiz:

Passo 4

Agora, vamos resolver essas duas desigualdades.
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Juntando as duas condições:
Isso significa que está entre e . Geometricamente, essa região forma uma bandeira em forma de “X” no plano .

Passo 6

Parte b)

Agora, vamos para a segunda função. Aqui temos uma fração, e precisamos lembrar que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida.

Passo 7

Vamos definir a condição:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão para entender melhor. Começamos reorganizando e completando o quadrado para :

Passo 9

Essa é a equação de uma elipse. Portanto, queremos todos os pontos que não estão nessa elipse.

Passo 10

Então, o domínio da função b) é todo o plano , exceto os pontos que satisfazem a equação da elipse.

Resposta

a) O domínio da função é todos os pares onde .
b) O domínio da função é todo o plano exceto os pontos que satisfazem .

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