Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções e precisamos descobrir o domínio de cada uma, ou seja, todos os valores de
e
para os quais as funções estão definidas. Para isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações em funções de duas variáveis.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos focar na primeira função. Ela envolve duas raízes quadradas. Sabemos que o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real.
Passo 3
Vamos escrever as condições para cada raiz:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas duas desigualdades.
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Juntando as duas condições:
Isso significa que
está entre
e
. Geometricamente, essa região forma uma bandeira em forma de “X” no plano
.
Passo 6
Parte b)
Agora, vamos para a segunda função. Aqui temos uma fração, e precisamos lembrar que o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida.
Passo 7
Vamos definir a condição:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão para entender melhor. Começamos reorganizando e completando o quadrado para
:
Passo 9
Essa é a equação de uma elipse. Portanto, queremos todos os pontos
que não estão nessa elipse.
Passo 10
Então, o domínio da função b) é todo o plano
, exceto os pontos que satisfazem a equação da elipse.
Resposta
a) O domínio da função
é todos os pares
onde
.
b) O domínio da função
é todo o plano
exceto os pontos que satisfazem
.
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