Encontre a solução em séries de potências da equação diferencial não homogênea em torno do ponto
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é de séries de potências, que nos ajudam a encontrar soluções para equações diferenciais aproximando-as com polinômios infinitos. Para isso, vamos precisar expandir as funções envolvidas em séries de potências e igualar os coeficientes correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Derivando termo a termo, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação,
, também em séries de potências:
Portanto:
Passo 4
Voltando à equação diferencial, substituímos
e
pelas suas séries:
Simplificando:
Passo 5
Agora, ajustamos os índices para que ambas as somas tenham o mesmo expoente de
:
Passo 6
Igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de
dos dois lados da equação. Para
:
onde
é um inteiro não negativo.
Passo 7
Resolvemos a recorrência para encontrar os coeficientes
. Começamos assumindo
(já que não existe). Para
:
Para
:
Assumindo
como constante, por simplicidade, podemos considerar
se buscamos uma solução particular. Então:
Continuamos esse processo para encontrar mais coeficientes conforme necessário.
Resposta
A solução em série de potências da equação diferencial
em torno de
é:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência obtida.
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Analise a convergência (ou não) das séries a seguir:
Calcule o volume do elipsóide
mediante a transformação
e
. Utilize o volume da esfera calculado no item anterior.
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by implicit differentiation.