Encontre a solução em séries de potências da equação diferencial não homogênea em torno do ponto :
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo que vamos usar aqui é de séries de potências, que nos ajudam a encontrar soluções para equações diferenciais aproximando-as com polinômios infinitos. Para isso, vamos precisar expandir as funções envolvidas em séries de potências e igualar os coeficientes correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Derivando termo a termo, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação, , também em séries de potências:
Portanto:

Passo 4

Voltando à equação diferencial, substituímos e pelas suas séries:
Simplificando:

Passo 5

Agora, ajustamos os índices para que ambas as somas tenham o mesmo expoente de :

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de dos dois lados da equação. Para :
onde é um inteiro não negativo.

Passo 7

Resolvemos a recorrência para encontrar os coeficientes . Começamos assumindo (já que não existe). Para :
Para :
Assumindo como constante, por simplicidade, podemos considerar se buscamos uma solução particular. Então:
Continuamos esse processo para encontrar mais coeficientes conforme necessário.

Resposta

A solução em série de potências da equação diferencial em torno de é:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência obtida.

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