Justifique a convergência da série abaixo e calcule a soma correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente justificar se a série
converge e, se sim, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries convergentes, séries telescópicas e séries geométricas. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a soma de séries convergentes também converge, e a soma delas é a soma das somas individuais.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
Essa é uma série telescópica. Para simplificar, vamos decompor a fração:
Assim, a série fica:
Passo 4
Agora, somando os termos da série telescópica:
Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
Então, a soma da primeira série é 5.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda série:
Essa é uma série geométrica do tipo:
onde
e
.
Passo 6
Para uma série geométrica
, ela converge se
e a soma é dada por:
No nosso caso,
, então a série converge.
Passo 7
Calculando a soma da segunda série:
Então, a soma da segunda série é 7.
Resposta
A série original converge e a soma total é:
Exercícios relacionados
The curve with equation
is called the Tschirnhausen cubic. Find an equation of the tangent line to this curve at the point
.
Analise a convergência (ou não) das séries a seguir:
Considere a seguinte propriedade da transformada de Laplace
.
Utilizando esta propriedade mostre:
a) senat
, sabendo-se que
cosat
.
Utilizando esta propriedade mostre:
a)
Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique seus argumentos.