Justifique a convergência da série abaixo e calcule a soma correspondente:
sumn=1^infty 5n(n+1)+3 cdot 7^n10^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente justificar se a série
sumn=1^infty (5n(n+1) + 3 cdot 7^n10^n)
converge e, se sim, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries convergentes, séries telescópicas e séries geométricas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar:
sumn=1^infty 5n(n+1) e sumn=1^infty 3 cdot 7^n10^n
Isso funciona porque a soma de séries convergentes também converge, e a soma delas é a soma das somas individuais.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série:
sumn=1^infty 5n(n+1)
Essa é uma série telescópica. Para simplificar, vamos decompor a fração:
5n(n+1) = 5 ( 1n - 1n+1 )
Assim, a série fica:
5 sumn=1^infty ( 1n - 1n+1 )

Passo 4

Agora, somando os termos da série telescópica:
5 [ ( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + cdots ]
Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
5 (1 - limn to infty 1n+1 ) = 5 (1 - 0) = 5
Então, a soma da primeira série é 5.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série:
sumn=1^infty 3 cdot 7^n10^n = 3 sumn=1^infty ( 710 )^n
Essa é uma série geométrica do tipo:
sumn=1^infty ar^n
onde e .

Passo 6

Para uma série geométrica ar1 - r , ela converge se e a soma é dada por:
No nosso caso, , então a série converge.

Passo 7

Calculando a soma da segunda série:
3 cdot 7101 - 710 = 3 cdot 710310 = 3 cdot 73 = 7
Então, a soma da segunda série é 7.

Resposta

A série original converge e a soma total é:
5 + 7 = 12

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