Justifique a convergência da série abaixo e calcule a soma correspondente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente justificar se a série
converge e, se sim, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries convergentes, séries telescópicas e séries geométricas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a soma de séries convergentes também converge, e a soma delas é a soma das somas individuais.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série:
Essa é uma série telescópica. Para simplificar, vamos decompor a fração:
Assim, a série fica:

Passo 4

Agora, somando os termos da série telescópica:
Observamos que quase todos os termos se cancelam, restando apenas:
Então, a soma da primeira série é 5.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série:
Essa é uma série geométrica do tipo:
onde e .

Passo 6

Para uma série geométrica , ela converge se e a soma é dada por:
No nosso caso, , então a série converge.

Passo 7

Calculando a soma da segunda série:
Então, a soma da segunda série é 7.

Resposta

A série original converge e a soma total é:

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