The curve with equation y^2 = x^3 + 3 x^2 is called the Tschirnhausen cubic. Find an equation of the tangent line to this curve at the point (1, -2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva , chamada de cúbica de Tschirnhausen. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas para achar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação da curva para encontrar , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A equação é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia, já que é função de .

Passo 4

Derivando o lado direito:
Usamos a regra do poder para cada termo.

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar para encontrar a inclinação.

Passo 6

Isolando :
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 7

Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e na expressão:
Então, a inclinação da tangente nesse ponto é .

Passo 8

Agora que temos a inclinação e sabemos que a reta passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Passo 9

Vamos simplificar a equação para a forma padrão:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados