The curve with equation
is called the Tschirnhausen cubic. Find an equation of the tangent line to this curve at the point
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva
, chamada de cúbica de Tschirnhausen. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas para achar a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação da curva para encontrar
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A equação é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia, já que
é função de
.
Passo 4
Derivando o lado direito:
Usamos a regra do poder para cada termo.
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar
para encontrar a inclinação.
Passo 6
Isolando
:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva.
Passo 7
Agora, vamos calcular
no ponto
. Substituindo
e
na expressão:
Então, a inclinação da tangente nesse ponto é
.
Passo 8
Agora que temos a inclinação
e sabemos que a reta passa pelo ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Passo 9
Vamos simplificar a equação para a forma padrão:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: