Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a convergência da série
usando o teste da raiz ou o teste da integral. A matéria que estamos trabalhando aqui é análise de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam esses testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série e o que significa ela convergir. Uma série é a soma de uma sequência de termos, e dizer que a série converge significa que, conforme somamos mais termos, a soma se aproxima de um número finito.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. A fórmula é:
Onde
é o termo geral da série.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da raiz à nossa série
. Aqui, o termo geral
é
. Então, precisamos calcular:
Passo 5
Para resolver isso, vamos analisar separadamente o numerador e o denominador dentro da raiz:
Sabemos que
tende a 1 quando
cresce, porque
cresce mais devagar comparado a
.
Passo 6
Agora, vejamos
. O fatorial
cresce muito rapidamente, muito mais rápido do que qualquer potência de
. De fato, usando a aproximação de Stirling, sabemos que:
Então, a raiz enésima de
é aproximadamente:
Passo 7
Com isso, voltando ao limite
:
Passo 8
Segundo o teste da raiz, se
, a série converge absolutamente. No nosso caso,
, que é claramente menor que 1.
Resposta
A série
converge pelo teste da raiz.
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