Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a convergência da série usando o teste da raiz ou o teste da integral. A matéria que estamos trabalhando aqui é análise de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam esses testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série e o que significa ela convergir. Uma série é a soma de uma sequência de termos, e dizer que a série converge significa que, conforme somamos mais termos, a soma se aproxima de um número finito.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. A fórmula é:
Onde é o termo geral da série.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da raiz à nossa série . Aqui, o termo geral é . Então, precisamos calcular:

Passo 5

Para resolver isso, vamos analisar separadamente o numerador e o denominador dentro da raiz:
Sabemos que tende a 1 quando cresce, porque cresce mais devagar comparado a .

Passo 6

Agora, vejamos . O fatorial cresce muito rapidamente, muito mais rápido do que qualquer potência de . De fato, usando a aproximação de Stirling, sabemos que:
Então, a raiz enésima de é aproximadamente:

Passo 7

Com isso, voltando ao limite :

Passo 8

Segundo o teste da raiz, se , a série converge absolutamente. No nosso caso, , que é claramente menor que 1.

Resposta

A série converge pelo teste da raiz.

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