Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série . A matéria aqui é de séries infinitas, e vamos precisar entender se essa série “some” para um valor específico ou não. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes: e . Isso ajuda a analisar cada parte individualmente.

Passo 3

A primeira série, , é basicamente duas vezes a série harmônica , que sabemos que é divergente. Ou seja, essa parte não “soma” para um valor finito.

Passo 4

Já a segunda série, , é uma série alternada. Aqui, podemos aplicar o Teste de Dirichlet, que nos diz que se os termos diminuem de forma monotônica para zero e têm uma soma parcial limitada, então a série converge. E realmente, essa série converge condicionalmente.

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, temos uma série que é a soma de uma parte divergente e uma parte convergente. Quando uma parte da série não converge, a série toda também não converge.

Resposta

A série é divergente.

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