Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série
. A matéria aqui é de séries infinitas, e vamos precisar entender se essa série “some” para um valor específico ou não. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes:
e
. Isso ajuda a analisar cada parte individualmente.
Passo 3
A primeira série,
, é basicamente duas vezes a série harmônica
, que sabemos que é divergente. Ou seja, essa parte não “soma” para um valor finito.
Passo 4
Já a segunda série,
, é uma série alternada. Aqui, podemos aplicar o Teste de Dirichlet, que nos diz que se os termos diminuem de forma monotônica para zero e têm uma soma parcial limitada, então a série converge. E realmente, essa série converge condicionalmente.
Passo 5
Agora, juntando as duas partes, temos uma série que é a soma de uma parte divergente e uma parte convergente. Quando uma parte da série não converge, a série toda também não converge.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.