Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para decidir se a série infinita é convergente ou divergente. Isso envolve entender séries alternadas e usar alguns testes de convergência que vamos aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série: . Note que temos o termo , o que indica que a série é alternada (os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa). O termo geral da série é .

Passo 3

Para séries alternadas, um método comum para testar a convergência é o Teste da Série Alternada de Leibniz. Esse teste diz que se os termos satisfazem três condições:
  1. para todo .
  2. é decrescente, ou seja, .
  3. .
Se todas essas condições forem verdadeiras, a série alternada converge.

Passo 4

Vamos verificar essas condições para a nossa série:
  1. Positividade: é sempre positivo para .
  2. Decrescente: Vamos ver se : Comparando com , percebemos que à medida que aumenta, diminui.
  3. Limite zero: Então, o limite do termo geral é zero.

Passo 5

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada de Leibniz são satisfeitas, podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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