Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. sumn=5^infty(-1)^n n+1n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para decidir se a série infinita sumn=5^infty(-1)^n n+1n^2 é convergente ou divergente. Isso envolve entender séries alternadas e usar alguns testes de convergência que vamos aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série: sumn=5^infty(-1)^n n+1n^2. Note que temos o termo (-1)^n, o que indica que a série é alternada (os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa). O termo geral da série é an = n+1n^2.

Passo 3

Para séries alternadas, um método comum para testar a convergência é o Teste da Série Alternada de Leibniz. Esse teste diz que se os termos an satisfazem três condições:
  1. an > 0 para todo n.
  2. an é decrescente, ou seja, an+1 <= an.
  3. limn to infty an = 0.
Se todas essas condições forem verdadeiras, a série alternada converge.

Passo 4

Vamos verificar essas condições para a nossa série:
  1. Positividade: an = n+1n^2 é sempre positivo para n >= 5.
  2. Decrescente: Vamos ver se an+1 <= an: an+1 = (n+1)+1(n+1)^2 = n+2(n+1)^2 Comparando an+1 com an, percebemos que à medida que n aumenta, an diminui.
  3. Limite zero: limn to infty n+1n^2 = limn to infty 1 + 1nn = 0 Então, o limite do termo geral é zero.

Passo 5

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada de Leibniz são satisfeitas, podemos concluir que a série sumn=5^infty(-1)^n n+1n^2 é convergente.

Resposta

A série sumn=5^infty(-1)^n n+1n^2 é convergente.

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