Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para decidir se a série infinita
é convergente ou divergente. Isso envolve entender séries alternadas e usar alguns testes de convergência que vamos aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série:
. Note que temos o termo
, o que indica que a série é alternada (os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa). O termo geral da série é
.
Passo 3
Para séries alternadas, um método comum para testar a convergência é o Teste da Série Alternada de Leibniz. Esse teste diz que se os termos
satisfazem três condições:
-
para todo . -
é decrescente, ou seja, . -
.
Se todas essas condições forem verdadeiras, a série alternada converge.
Passo 4
Vamos verificar essas condições para a nossa série:
- Positividade:
é sempre positivo para . - Decrescente: Vamos ver se
: Comparando com , percebemos que à medida que aumenta, diminui. - Limite zero:
Então, o limite do termo geral é zero.
Passo 5
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada de Leibniz são satisfeitas, podemos concluir que a série
é convergente.
Resposta
A série
é convergente.
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