Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. sumn=1^infty 2^n(n!)^lambda, lambda>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série , onde , é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao conteúdo de análise de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender os testes de convergência de séries, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou exponenciais. Esse teste diz que se :
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos an+1 = 2^n+1((n+1)!)^lambda = 2 cdot 2^n(n+1)^lambda cdot (n!)^lambda = 2(n+1)^lambda cdot an . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão | an+1an | = 2(n+1)^lambda :

Passo 5

Vamos encontrar o limite dessa razão quando limn to infty 2(n+1)^lambda = 0 tende ao infinito:

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge para todo .

Exercícios relacionados