Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série , onde , é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao conteúdo de análise de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender os testes de convergência de séries, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou exponenciais. Esse teste diz que se :
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão :

Passo 5

Vamos encontrar o limite dessa razão quando tende ao infinito:

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge para todo .

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