Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série , onde , é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao conteúdo de análise de séries infinitas. Para resolver, vamos precisar entender os testes de convergência de séries, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos que envolvem fatoriais ou exponenciais. Esse teste diz que se :
Se , a série converge.
Se ou é infinito, a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos . Agora, vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão :
Passo 5
Vamos encontrar o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Passo 6
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.