Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que a gente precisa descobrir se ela converge ou diverge. A série é
. Vamos usar conhecimentos de Cálculo, mais especificamente sobre séries e aproximações de funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da série:
. Quando
fica bem grande,
fica bem pequeno. Então, a gente pode usar uma aproximação para o cosseno quando o ângulo é pequeno.
Passo 3
Sabemos que para valores bem pequenos de
, o cosseno pode ser aproximado por:
Isso significa que:
Passo 4
Aplicando isso na nossa série, onde
, temos:
Então, a gente pode dizer que:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa série com a série conhecida
, que é uma série p com
. Sabemos que séries p com
convergem. Como a nossa série é basicamente a metade de uma série p que converge, ela também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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