Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. sumn=1^infty(1-cos (1n))

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que a gente precisa descobrir se ela converge ou diverge. A série é . Vamos usar conhecimentos de Cálculo, mais especificamente sobre séries e aproximações de funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da série: . Quando fica bem grande, fica bem pequeno. Então, a gente pode usar uma aproximação para o cosseno quando o ângulo é pequeno.

Passo 3

Sabemos que para valores bem pequenos de cos x approx 1 - x^22 , o cosseno pode ser aproximado por:
1 - cos x approx x^22
Isso significa que:

Passo 4

Aplicando isso na nossa série, onde 1 - cos(1n) approx (1n)^22 = 12n^2 , temos:
sumn=1^infty(1-cos (1n)) approx sumn=1^infty 12n^2
Então, a gente pode dizer que:

Passo 5

Agora, vamos comparar essa série com a série conhecida , que é uma série p com . Sabemos que séries p com convergem. Como a nossa série é basicamente a metade de uma série p que converge, ela também converge.

Resposta

A série é convergente.

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