Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral. sumn=1^infty (-1)^n n(2 n)^n

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos analisar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

O Teste da Raiz envolve calcular o limite , onde é o termo geral da série. Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = (-1)^n n(2n)^n na nossa série:
|an| = n(2n)^n
Como vamos usar o valor absoluto, ignoramos o :

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Raiz:
L = limn to infty raiz[n]n(2n)^n
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz[n]n(2n)^n = raiz[n]n2n

Passo 5

Vamos calcular separadamente cada parte:
  • L = limn to infty 12n = 0 : Sabemos que
  • : Quanto cresce, também cresce sem limite.
Então:

Passo 6

Como e , pelo Teste da Raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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