Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos analisar a série infinita . Estamos estudando a convergência ou divergência de séries, e para isso vamos utilizar testes de comparação que nos ajudarão a determinar o comportamento dessa série.

Passo 2

Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste de Comparação. Esse teste compara a série em questão com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Observando o termo geral , percebemos que para valores grandes de , o se torna insignificante em relação a . Ou seja:
Portanto, para grande, temos:

Passo 3

Sabemos que a série é a série harmônica, e ela diverge. Já que se comporta de forma semelhante a para grandes , podemos comparar as duas séries.
Pelo Teste de Comparação, se uma série maior ou igual a uma série divergente também diverge. Como para , e a série harmônica diverge, concluímos que:

Resposta

A série é divergente.

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Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.