Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. sumn=3^infty 1raizn^2-4

Passo 1

Vamos analisar a série infinita sumn=3^infty 1raizn^2-4. Estamos estudando a convergência ou divergência de séries, e para isso vamos utilizar testes de comparação que nos ajudarão a determinar o comportamento dessa série.

Passo 2

Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste de Comparação. Esse teste compara a série em questão com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Observando o termo geral 1raizn^2-4, percebemos que para valores grandes de n, o -4 se torna insignificante em relação a n^2. Ou seja:
raizn^2-4 approx raizn^2 = n
Portanto, para n grande, temos:
1raizn^2-4 approx 1n

Passo 3

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, e ela diverge. Já que 1raizn^2-4 se comporta de forma semelhante a 1n para grandes n, podemos comparar as duas séries.
Pelo Teste de Comparação, se uma série maior ou igual a uma série divergente também diverge. Como 1raizn^2-4 >= 1n para n >= 3, e a série harmônica diverge, concluímos que:

Resposta

A série sumn=3^infty 1raizn^2-4 é divergente.

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