Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. sumn=1^infty raiz[3]n+2raiz[4]n^3+3 raiz[5]n^3+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que aprendemos em Cálculo, como o teste de comparação ou o teste da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor o comportamento dos termos quando raiz[3]n+2raiz[4]n^3+3 raiz[5]n^3+5 = (n+2)^1/3(n^3+3)^1/4 (n^3+5)^1/5 cresce. Observamos que:
Quando é grande, é aproximadamente , e e são aproximadamente .

Passo 3

Com essa observação, podemos aproximar a expressão:
(n+2)^1/3(n^3)^1/4 (n^3)^1/5 = n^1/3n^3/4 cdot n^3/5
Agora, somamos os expoentes no denominador:
n^3/4 cdot n^3/5 = n^3/4 + 3/5 = n^15/20 + 12/20 = n^27/20
Então a expressão simplificada fica:
n^1/3n^27/20 = n^1/3 - 27/20 = n^-17/60

Passo 4

Agora, queremos saber se a série converge ou diverge. Para isso, usamos o Critério da Série p, que nos diz que a série converge se e diverge se .
No nosso caso, , que é menor que 1.

Passo 5

Como , de acordo com o Critério da Série p, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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