Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que aprendemos em Cálculo, como o teste de comparação ou o teste da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor o comportamento dos termos quando
cresce. Observamos que:
Quando
é grande,
é aproximadamente
, e
e
são aproximadamente
.
Passo 3
Com essa observação, podemos aproximar a expressão:
Agora, somamos os expoentes no denominador:
Então a expressão simplificada fica:
Passo 4
Agora, queremos saber se a série
converge ou diverge. Para isso, usamos o Critério da Série p, que nos diz que a série
converge se
e diverge se
.
No nosso caso,
, que é menor que 1.
Passo 5
Como
, de acordo com o Critério da Série p, a série
diverge.
Resposta
A série
diverge.
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