Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência da série
. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, mais especificamente os testes de convergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Raiz, que é bem útil quando os termos da série têm potências com
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 3
No nosso caso, o termo geral da série é
. Vamos aplicar o Teste da Raiz a esse termo:
Isso simplifica para o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos calcular esse limite:
Como o limite é infinito, que é claramente maior que 1, segundo o Teste da Raiz, isso significa que a série diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Raiz.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Mostre que, se
então a séries alternada
diverge.
Obtenha o valor, usando séries geométricas: