Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral. sumn=1^infty(2 n)^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar a convergência da série sumn=1^infty(2n)^n. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, mais especificamente os testes de convergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Raiz, que é bem útil quando os termos da série têm potências com n.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral da série é (2n)^n. Vamos aplicar o Teste da Raiz a esse termo:
limn to infty raiz[n](2n)^n = limn to infty 2n
Isso simplifica para o limite de 2n quando n tende ao infinito.

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
limn to infty 2n = infty
Como o limite é infinito, que é claramente maior que 1, segundo o Teste da Raiz, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(2n)^n diverge pelo Teste da Raiz.

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