Mostre que, se então a séries alternada diverge.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma série alternada da forma onde os termos satisfazem . O conteúdo envolvido aqui é o estudo da convergência ou divergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e as condições necessárias para que uma série alternada convirja ou diverja.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos, decrescentes, ou seja, para todo .
  2. O limite dos termos tende a zero, isto é, .
No nosso caso, os termos são positivos, mas ao contrário do que o teste exige, eles não estão decrescendo. Pelo contrário, eles estão aumentando ou mantendo o mesmo valor: . Isso já nos impede de aplicar diretamente o Teste da Série Alternada para garantir a convergência.

Passo 3

Al��m disso, outra condição importante para a convergência de uma série é que o limite dos termos individuais deve ser zero. Ou seja, . Se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.
No nosso caso, como a sequência é não decrescente e todos os termos são positivos, se ela não tende a zero, então o limite dos termos não é zero. Mesmo que ela tender a zero, o fato de os termos não serem decrescentes ainda impede a aplicação do Teste da Série Alternada para garantir a convergência.

Resposta

Portanto, como os termos não são decrescentes e, possivelmente, não tendem a zero, a série alternada diverge.

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Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Obtenha o valor, usando séries geométricas:
Localize o intervalo que contenha a(s) raiz(es) da equação a seguir . Utilize o método que julgar mais eficiente. Justifique sua resposta.