Mostre que, se
então a séries alternada
diverge.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma série alternada da forma
onde os termos
satisfazem
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo da convergência ou divergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e as condições necessárias para que uma série alternada convirja ou diverja.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos, decrescentes, ou seja, para todo . - O limite dos termos tende a zero, isto é,
.
No nosso caso, os termos
são positivos, mas ao contrário do que o teste exige, eles não estão decrescendo. Pelo contrário, eles estão aumentando ou mantendo o mesmo valor:
. Isso já nos impede de aplicar diretamente o Teste da Série Alternada para garantir a convergência.
Passo 3
Al��m disso, outra condição importante para a convergência de uma série é que o limite dos termos individuais deve ser zero. Ou seja,
. Se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.
No nosso caso, como a sequência
é não decrescente e todos os termos são positivos, se ela não tende a zero, então o limite dos termos não é zero. Mesmo que ela tender a zero, o fato de os termos não serem decrescentes ainda impede a aplicação do Teste da Série Alternada para garantir a convergência.
Resposta
Portanto, como os termos
não são decrescentes e, possivelmente, não tendem a zero, a série alternada
diverge.