Mostre que, se 0 então a séries alternada sumn=0^infty(-1)^n ai diverge.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma série alternada da forma sumn=0^infty(-1)^n an onde os termos an satisfazem 0 < a0 <= a1 <= a2 <= a3 <= ldots. O conteúdo envolvido aqui é o estudo da convergência ou divergência de séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e as condições necessárias para que uma série alternada convirja ou diverja.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série alternada sumn=0^infty(-1)^n bn converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn são positivos, decrescentes, ou seja, bn+1 <= bn para todo n.
  2. O limite dos termos tende a zero, isto é, limn to infty bn = 0.
No nosso caso, os termos an são positivos, mas ao contrário do que o teste exige, eles não estão decrescendo. Pelo contrário, eles estão aumentando ou mantendo o mesmo valor: a0 <= a1 <= a2 <= a3 <= ldots. Isso já nos impede de aplicar diretamente o Teste da Série Alternada para garantir a convergência.

Passo 3

Al��m disso, outra condição importante para a convergência de uma série é que o limite dos termos individuais deve ser zero. Ou seja, limn to infty an = 0. Se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.
No nosso caso, como a sequência an é não decrescente e todos os termos são positivos, se ela não tende a zero, então o limite dos termos não é zero. Mesmo que ela tender a zero, o fato de os termos não serem decrescentes ainda impede a aplicação do Teste da Série Alternada para garantir a convergência.

Resposta

Portanto, como os termos an não são decrescentes e, possivelmente, não tendem a zero, a série alternada sumn=0^infty(-1)^n an diverge.

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