Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. sumn=2^infty 1(ln (n))^n

Passo 1

Beleza! A gente tem que decidir se a série é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente à análise da convergência delas. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando adicionamos mais termos. Caso contrário, é divergente.

Passo 3

Agora, para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem potências de .

Passo 4

O Teste da Raiz diz que para uma série , calculamos . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Aplicando o teste à nossa série, temos limn to infty raiz[n]1(ln(n))^n = limn to infty 1ln(n) . Vamos calcular:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o limite:
limn to infty 1ln(n) = 0
Isso porque o logaritmo natural cresce sem limites conforme tende ao infinito, então tende a 0.

Passo 7

Como o limite obtido é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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