Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza! A gente tem que decidir se a série
é convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente à análise da convergência delas. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando adicionamos mais termos. Caso contrário, é divergente.
Passo 3
Agora, para verificar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem potências de
.
Passo 4
O Teste da Raiz diz que para uma série
, calculamos
. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Aplicando o teste à nossa série, temos
. Vamos calcular:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o limite:
Isso porque o logaritmo natural
cresce sem limites conforme
tende ao infinito, então
tende a 0.
Passo 7
Como o limite obtido é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Raiz, a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.
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Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
Mostre que, se
então a séries alternada
diverge.