Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor do número decimal usando séries geométricas. Isso significa que temos um número com uma parte decimal que se repete infinitamente. Para resolver, vamos usar a ideia de séries geométricas para transformar esse número em uma fração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . O símbolo de barra sobre “3131” indica que essa sequência de dígitos se repete para sempre. Então, o número completo é:
Passo 3
Vamos separar o número em duas partes: a parte inteira e a parte decimal. Aqui, a parte inteira é 2, e a parte decimal é . Então:
Passo 4
Agora, vamos focar na parte decimal . Para facilitar, vamos chamar essa parte de :
Passo 5
Observamos que a parte que se repete é “3131”, com um período de 2 dígitos. Para usar séries geométricas, precisamos expressar como uma soma infinita. Podemos escrever:
Passo 6
Cada termo após o primeiro é uma fração do anterior, especificamente, multiplicado por (já que cada repetição é deslocada duas casas decimais). Então, podemos ver isso como uma série geométrica com:
Primeiro termo
Razão
Passo 7
A soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
Substituindo os valores de e :
Passo 8
Vamos simplificar multiplicando numerador e denominador por 100 para eliminar as vírgulas:
Passo 9
Agora, voltamos ao número original:
Passo 10
Para somar, vamos converter 2 para uma fração com denominador 99: