Obtenha o valor, usando séries geométricas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor do número decimal usando séries geométricas. Isso significa que temos um número com uma parte decimal que se repete infinitamente. Para resolver, vamos usar a ideia de séries geométricas para transformar esse número em uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O símbolo de barra sobre “3131” indica que essa sequência de dígitos se repete para sempre. Então, o número completo é:

Passo 3

Vamos separar o número em duas partes: a parte inteira e a parte decimal. Aqui, a parte inteira é 2, e a parte decimal é . Então:

Passo 4

Agora, vamos focar na parte decimal . Para facilitar, vamos chamar essa parte de :

Passo 5

Observamos que a parte que se repete é “3131”, com um período de 2 dígitos. Para usar séries geométricas, precisamos expressar como uma soma infinita. Podemos escrever:

Passo 6

Cada termo após o primeiro é uma fração do anterior, especificamente, multiplicado por (já que cada repetição é deslocada duas casas decimais). Então, podemos ver isso como uma série geométrica com:
  • Primeiro termo
  • Razão

Passo 7

A soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
Substituindo os valores de e :

Passo 8

Vamos simplificar multiplicando numerador e denominador por 100 para eliminar as vírgulas:

Passo 9

Agora, voltamos ao número original:

Passo 10

Para somar, vamos converter 2 para uma fração com denominador 99:
Então:

Resposta

O valor de é .

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