Analise a convergência das seguintes séries:
f) sumn=1^infty 12+3^n [Converge, comparando com a série geométrica]

Passo 1

Beleza, vamos analisar a convergência da série sumn=1^infty 12+3^n. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento. Neste caso, vamos comparar com uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como se comporta o termo geral da nossa série: 12+3^n. À medida que aumenta, cresce muito rápido, tornando o termo insignificante. Então, podemos simplificar e dizer que é aproximadamente igual a para valores grandes de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A série geométrica é da forma , onde é o primeiro termo e é a razão. Essa série converge se .

Passo 4

No nosso caso, a série com a qual vamos comparar é . Aqui, e , que é menor que 1. Portanto, sabemos que essa série geométrica converge.

Passo 5

Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
12+3^n <= 13^n
Isso porque , então o denominador maior gera um termo menor.

Passo 6

Como converge e todo termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série também converge.

Resposta

A série converge, pois pode ser comparada com a série geométrica que também converge.

Exercícios relacionados

Mostre que a soma de duas sequências divergentes pode ser uma sequência convergente.
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(h) a_n = 2 + (0,86)^n [Converge, Limite 2
Encontre os valores de x para os quais a série sumn=0^infty (x-3)^nn é convergente.
[Converge para 2, veja p. 669 do material didático]
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1
[O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é ] -5,1[. Veja p. 672 do material]