Analise a convergência das seguintes séries:
f)
[Converge, comparando com a série geométrica]
f)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a convergência da série
. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Comparação, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento. Neste caso, vamos comparar com uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como se comporta o termo geral da nossa série:
. À medida que
aumenta,
cresce muito rápido, tornando o termo
insignificante. Então, podemos simplificar e dizer que
é aproximadamente igual a
para valores grandes de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a série geométrica. A série geométrica é da forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. Essa série converge se
.
Passo 4
No nosso caso, a série com a qual vamos comparar é
. Aqui,
e
, que é menor que 1. Portanto, sabemos que essa série geométrica converge.
Passo 5
Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
Isso porque
, então o denominador maior gera um termo menor.
Passo 6
Como
converge e todo termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série
também converge.
Resposta
A série
converge, pois pode ser comparada com a série geométrica que também converge.
Exercícios relacionados
Mostre que a soma de duas sequências divergentes pode ser uma sequência convergente.
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(h) [Converge, Limite
(h)
Encontre os valores de
para os quais a série
é convergente.
[Converge para , veja p. 669 do material didático]
[Converge para
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
[O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é ]
. Veja p. 672 do material]