Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1
[O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é ] -5,1[. Veja p. 672 do material]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1
Isso faz parte do estudo de Séries de Potências na matemática, e vamos usar o Teste da Razão para descobrir essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. A série dada é:
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1
Podemos reescrever isso como:
sumn=0^infty ( n3 ) ( x+23 )^n
Isso ajuda a visualizar melhor a parte que depende de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que, para a série:
sumn=0^infty an
O raio de convergência R = limn to infty | anan+1 | é dado por:
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular anan+1 = n3 ( x+23 )^n n+13 ( x+23 )^n+1 = nn+1 cdot 1 x+23 = nn+1 cdot 3x+2 :
limn to infty | anan+1 | = limn to infty | nn+1 cdot 3x+2 | = | 3x+2 |
Então,

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que o limite acima seja maior que 1:
| 3x+2 | > 1
Resolvendo essa desigualdade:
| x + 2 | < 3
Isso significa que:
-3 < x + 2 < 3 -5 < x < 1

Passo 6

O raio de convergência é o valor que multiplica na desigualdade absoluta. Aqui, foi 3. Portanto, .
O intervalo de convergência é o conjunto de que satisfaz a desigualdade .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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