Mostre que a soma de duas sequências divergentes pode ser uma sequência convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a soma de duas sequências divergentes pode resultar em uma sequência convergente. Aqui, trabalharemos com os conceitos de sequência divergente (que não tem um limite finito) e sequência convergente (que se aproxima de um número específico à medida que avança). Para resolver isso, precisaremos definir duas sequências que não têm limites, mas cuja soma tenha um limite definido.

Passo 2

Vamos criar duas sequências específicas. Vamos chamar a primeira de e a segunda de . Precisamos que ambas sejam divergentes, ou seja, que não tenham um limite finito.

Passo 3

Vamos definir . Essa é uma sequência que fica crescendo sem parar (1, 2, 3, 4, …), então ela é divergente para .

Passo 4

Agora, vamos definir , onde é uma constante. Para simplificar, vamos escolher , então . Essa sequência também diverge, mas para .

Passo 5

Agora, vamos somar as duas sequências: . Substituindo, temos:
Então, para qualquer valor de , .

Passo 6

Observamos que a sequência é constante. Isso significa que ela sempre será igual a 1, independentemente de . Portanto, essa sequência converge para 1.

Resposta

Mostramos que, ao somar as sequências divergentes e , obtemos a sequência convergente . Assim, a soma de duas sequências divergentes pode, de fato, ser uma sequência convergente.

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