Mostre que a soma de duas sequências divergentes pode ser uma sequência convergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a soma de duas sequências divergentes pode resultar em uma sequência convergente. Aqui, trabalharemos com os conceitos de sequência divergente (que não tem um limite finito) e sequência convergente (que se aproxima de um número específico à medida que avança). Para resolver isso, precisaremos definir duas sequências que não têm limites, mas cuja soma tenha um limite definido.
Passo 2
Vamos criar duas sequências específicas. Vamos chamar a primeira de
e a segunda de
. Precisamos que ambas sejam divergentes, ou seja, que não tenham um limite finito.
Passo 3
Vamos definir
. Essa é uma sequência que fica crescendo sem parar (1, 2, 3, 4, …), então ela é divergente para
.
Passo 4
Agora, vamos definir
, onde
é uma constante. Para simplificar, vamos escolher
, então
. Essa sequência também diverge, mas para
.
Passo 5
Agora, vamos somar as duas sequências:
. Substituindo, temos:
Então, para qualquer valor de
,
.
Passo 6
Observamos que a sequência
é constante. Isso significa que ela sempre será igual a 1, independentemente de
. Portanto, essa sequência converge para 1.
Resposta
Mostramos que, ao somar as sequências divergentes
e
, obtemos a sequência convergente
. Assim, a soma de duas sequências divergentes pode, de fato, ser uma sequência convergente.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(h) [Converge, Limite
(h)
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(g) Converge, Limite
(g)
Analise a convergência das seguintes séries:
f) [Converge, comparando com a série geométrica]
f)
Encontre os valores de
para os quais a série
é convergente.
[Converge para , veja p. 669 do material didático]
[Converge para