Encontre os valores de x para os quais a série sumn=0^infty (x-3)^nn é convergente.
[Converge para 2, veja p. 669 do material didático]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os valores de para os quais a série converge. A matéria que vamos usar aqui é Séries Numéricas e, mais especificamente, vamos precisar entender sobre convergência de séries e critério da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais familiar. Observe que podemos escrever sumn=0^infty u^nn como , onde . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar para quais valores de essa série converge. Lembra da série geométrica, que é ? Ela converge quando . Embora a nossa série tenha um denominador , ela se comporta de forma semelhante para determinar a convergência.

Passo 4

Aplicando o critério da série geométrica, sabemos que a série |u| < 1 converge quando:
|x - 3| < 1
Ou seja,

Passo 5

Vamos resolver a inequação -1 < x - 3 < 1 :
2 < x < 4
Somando 3 em todas as partes:

Resposta

A série converge para valores de tais que .

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