Encontre os valores de x para os quais a série sumn=0^infty (x-3)^nn é convergente.
[Converge para 2, veja p. 669 do material didático]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar os valores de para os quais a série converge. A matéria que vamos usar aqui é Séries Numéricas e, mais especificamente, vamos precisar entender sobre convergência de séries e critério da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais familiar. Observe que podemos escrever sumn=0^infty u^nn como , onde . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar para quais valores de essa série converge. Lembra da série geométrica, que é ? Ela converge quando . Embora a nossa série tenha um denominador , ela se comporta de forma semelhante para determinar a convergência.

Passo 4

Aplicando o critério da série geométrica, sabemos que a série |u| < 1 converge quando:
|x - 3| < 1
Ou seja,

Passo 5

Vamos resolver a inequação -1 < x - 3 < 1 :
2 < x < 4
Somando 3 em todas as partes:

Resposta

A série converge para valores de tais que .

Exercícios relacionados

Analise a convergência das seguintes séries:
f) sumn=1^infty 12+3^n [Converge, comparando com a série geométrica]
Mostre que a soma de duas sequências divergentes pode ser uma sequência convergente.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1
[O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é ] -5,1[. Veja p. 672 do material]
Encontre uma repesentação em série de potências para 1/(x+2).
[Veja p. 674 do material]