Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(h)
[Converge, Limite
(h)
Passo 1
Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos a sequência
e precisamos determinar se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, também queremos encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se, conforme
(o índice da sequência) tende ao infinito, os termos da sequência se aproximam de um valor fixo, chamado de limite. Se os termos não se aproximam de nenhum número específico, a sequência é divergente.
Passo 3
Agora, vamos observar a nossa sequência:
Aqui, temos dois termos: o número 2 e a expressão
. Nosso objetivo é ver como essa expressão se comporta quando
fica muito grande (tende ao infinito).
Passo 4
Focando no termo
, percebemos que
é um número entre 0 e 1. Quando você eleva um número com valor absoluto menor que 1 a uma potência que tende ao infinito, o resultado tende a 0. Então:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na nossa sequência original:
Portanto, a sequência converge para o valor 2.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 2.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(g) Converge, Limite
(g)
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(e) Converge, Limite
(e)
Mostre que a soma de duas sequências divergentes pode ser uma sequência convergente.
Analise a convergência das seguintes séries:
f) [Converge, comparando com a série geométrica]
f)