Analise a convergência das seguintes séries:
a)
[Converge, por comparação]
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos determinar se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série cuja convergência já conhecemos.
Passo 2
Vamos analisar o termo geral da nossa série:
. Sabemos que
pode ser expandido usando a série de Taylor:
Substituindo
por
, temos:
Isso nos mostra que
é sempre maior que 1, mas para simplificar a comparação, podemos considerar que para
,
(já que os termos adicionais na expansão são cada vez menores).
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com a série
. Sabemos que a série
é uma Série p com
, que é conhecida por convergir porque
.
Multiplicando essa série por 3, também obtemos uma série que converge:
Passo 4
Aplicando o Teste de Comparação, verificamos que:
Como a série
converge e nossos termos são menores ou iguais a essa série, podemos concluir, pelo teste, que a série original também converge.
Resposta
Portanto, a série
converge por comparação.