Analise a convergência das seguintes séries:
a) sumn=1^infty e^1nn^2 [Converge, por comparação]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita sumn=1^infty e^1nn^2 e precisamos determinar se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série cuja convergência já conhecemos.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da nossa série: e^1nn^2. Sabemos que e^1n pode ser expandido usando a série de Taylor:
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + cdots
Substituindo x por 1n, temos:
e^1n = 1 + 1n + 12n^2 + 16n^3 + cdots
Isso nos mostra que e^1n é sempre maior que 1, mas para simplificar a comparação, podemos considerar que para n >= 1, e^1n <= 3 (já que os termos adicionais na expansão são cada vez menores).

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série sumn=1^infty 3n^2. Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma Série p com p = 2, que é conhecida por convergir porque p > 1.
Multiplicando essa série por 3, também obtemos uma série que converge:
sumn=1^infty 3n^2 = 3 sumn=1^infty 1n^2

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação, verificamos que:
0 <= e^1nn^2 <= 3n^2 para todo n >= 1
Como a série sumn=1^infty 3n^2 converge e nossos termos são menores ou iguais a essa série, podemos concluir, pelo teste, que a série original também converge.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty e^1nn^2 converge por comparação.

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