Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (-3)^n x^nraizn+1
[O raio de convergência é R=1 / 3 e o intervalo de convergência é -1 / 3 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (-3)^n x^nraizn+1
Isso envolve o estudo de séries de potências, e para resolver vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = (-3)^n x^nraizn+1
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an = (-3)^n+1 x^n+1 / raiz(n+1)+1(-3)^n x^n / raizn+1 :
Simplificando os termos:
= (-3) cdot x cdot raizn+1raizn+2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de L = limn to infty | (-3) cdot x cdot raizn+1raizn+2 | quando L = | -3x | = 3|x| tende ao infinito:
Como tende a 1 quando cresce, o limite fica:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se 3|x| < 1 :
|x| < 13
Resolvendo para R = 13 :
Isso nos dá o raio de convergência:

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que -13 < x < 13 , então:
Mas precisamos verificar os pontos finais e .

Passo 7

Vamos testar sumn=1^infty (-3)^n (13)^nraizn+1 = sumn=1^infty (-1)^nraizn+1 :
Esta série é alternada e decresce em módulo para zero, então converge pela série alternada.

Passo 8

Agora, testamos sumn=1^infty (-3)^n (-13)^nraizn+1 = sumn=1^infty 1raizn+1 :
Esta série é a série com , que diverge porque .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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