Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
[O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Isso envolve o estudo de séries de potências, e para resolver vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
Passo 3
Vamos calcular a razão
an+1an = (-3)^n+1 x^n+1 / raiz(n+1)+1(-3)^n x^n / raizn+1 :
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
L = limn to infty | (-3) cdot x cdot raizn+1raizn+2 | quando
L = | -3x | = 3|x| tende ao infinito:
Como
tende a 1 quando
cresce, o limite fica:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se
3|x| < 1 :
Resolvendo para
R = 13 :
Isso nos dá o raio de convergência:
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que
-13 < x < 13 , então:
Mas precisamos verificar os pontos finais
e
.
Passo 7
Vamos testar
sumn=1^infty (-3)^n (13)^nraizn+1 = sumn=1^infty (-1)^nraizn+1 :
Esta série é alternada e decresce em módulo para zero, então converge pela série alternada.
Passo 8
Agora, testamos
sumn=1^infty (-3)^n (-13)^nraizn+1 = sumn=1^infty 1raizn+1 :
Esta série é a série
com
, que diverge porque
.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Analise a convergência das seguintes séries:
a)sumn=1^infty e^1nn^2 [Converge, por comparação]
a)
Encontre uma repesentação em série de potências para
1/(x+2) .
[Veja p. 674 do material]
[Veja p. 674 do material]
Expresse
1/(1+x^2) como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência [Veja p. 674 do material]
Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
h em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura
r h , onde
0 < r < 1 . Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de
H metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.