Expresse
como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência [Veja p. 674 do material]
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisamos escrever isso como a soma de uma série de potências. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência infinita de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa. A gente também vai precisar encontrar para quais valores de
essa série converge, ou seja, para quais
a soma da série dá um resultado finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série geométrica:
Essa fórmula é válida quando
. Nosso objetivo é manipular
para encaixar na forma da série geométrica.
Passo 3
Observando
, podemos reescrever o denominador para se parecer com
:
Assim, temos
.
Passo 4
Substituindo
na série geométrica, fica:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série geométrica converge quando
, aqui temos:
Portanto, a série converge para
.
Resposta
A expressão
pode ser escrita como a série de potências:
E o intervalo de convergência dessa série é
.