Expresse
como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência [Veja p. 674 do material]
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisamos escrever isso como a soma de uma série de potências. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência infinita de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa. A gente também vai precisar encontrar para quais valores de
essa série converge, ou seja, para quais
a soma da série dá um resultado finito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série geométrica:
Essa fórmula é válida quando
. Nosso objetivo é manipular
para encaixar na forma da série geométrica.
Passo 3
Observando
, podemos reescrever o denominador para se parecer com
:
Assim, temos
.
Passo 4
Substituindo
na série geométrica, fica:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série geométrica converge quando
, aqui temos:
Portanto, a série converge para
.
Resposta
A expressão
pode ser escrita como a série de potências:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
[O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
]
Analise a convergência das seguintes séries:
a) [Converge, por comparação]
a)
Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura
, onde
. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de
metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
Encontre uma representação em série de potências para
[Veja p. 675 do material]