Expresse 1/(1+x^2) como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência [Veja p. 674 do material]

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos escrever isso como a soma de uma série de potências. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência infinita de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa. A gente também vai precisar encontrar para quais valores de essa série converge, ou seja, para quais a soma da série dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série geométrica:
Essa fórmula é válida quando . Nosso objetivo é manipular para encaixar na forma da série geométrica.

Passo 3

Observando , podemos reescrever o denominador para se parecer com :
Assim, temos .

Passo 4

Substituindo na série geométrica, fica:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o intervalo de convergência dessa série. Lembrando que a série geométrica converge quando , aqui temos:
Portanto, a série converge para .

Resposta

A expressão pode ser escrita como a série de potências:
E o intervalo de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (-3)^n x^nraizn+1
[O raio de convergência é R=1 / 3 e o intervalo de convergência é -1 / 3 ]
Analise a convergência das seguintes séries:
a) sumn=1^infty e^1nn^2 [Converge, por comparação]
Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura r h, onde 0 < r < 1. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de H metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
Encontre uma representação em série de potências para x^3 / (x + 2) [Veja p. 675 do material]