Encontre uma repesentação em série de potências para 1/(x+2).
[Veja p. 674 do material]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a função dada numa forma que possamos expandir em série, usando séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que se assemelhe à fórmula da série geométrica, que é . Para isso, vamos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, observamos que a expressão se parece com a fórmula da série geométrica , onde . Sabemos que a série geométrica é válida quando , então:

Passo 4

Com isso, podemos expandir a expressão usando a série geométrica:
Multiplicando pela que tínhamos no começo:

Resposta

A representação em série de potências para é:

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1
[O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é ] -5,1[. Veja p. 672 do material]
Encontre os valores de x para os quais a série sumn=0^infty (x-3)^nn é convergente.
[Converge para 2, veja p. 669 do material didático]
Analise a convergência das seguintes séries:
a) sumn=1^infty e^1nn^2 [Converge, por comparação]
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (-3)^n x^nraizn+1
[O raio de convergência é R=1 / 3 e o intervalo de convergência é -1 / 3 ]