A análise da convergência de uma sequência é um dos assuntos mais importantes no estudo de sequências numéricas e pode ser realizada calculando o limite do termo geral. Assim, encontre o limite da sequência. 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, …
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência numérica: 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, … E o que a gente precisa fazer é descobrir qual valor essa sequência está se aproximando quando ela continua indefinidamente. Isso entra na área de análise de limites de sequências. Para resolver isso, vamos calcular o limite do termo geral da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a fórmula geral da sequência. Olhando para os termos:
1 = 1/1
3/2
5/3
7/4
9/5
…
3/2
5/3
7/4
9/5
…
A gente percebe que o numerador cresce de 2 em 2 (1, 3, 5, 7, 9, …) e o denominador cresce de 1 em 1 (1, 2, 3, 4, 5, …). Então, a fórmula geral do n-ésimo termo da sequência pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito. O limite de uma sequência nos diz para qual valor a sequência está se aproximando à medida que $ n $ fica muito grande.
Passo 4
Vamos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 5
Agora, analisamos o que acontece com cada termo à medida que $ n $ cresce sem limite:
- $ 2 $ permanece constante.
- $ \frac{1}{n} $ tende a 0 porque, quanto maior $ n $ fica, menor fica o valor de $ \frac{1}{n} $.
Portanto:
Resposta
O limite da sequência é 2.