A análise da convergência de uma sequência é um dos assuntos mais importantes no estudo de sequências numéricas e pode ser realizada calculando o limite do termo geral. Assim, encontre o limite da sequência. 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, …​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência numérica: 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, … E o que a gente precisa fazer é descobrir qual valor essa sequência está se aproximando quando ela continua indefinidamente. Isso entra na área de análise de limites de sequências. Para resolver isso, vamos calcular o limite do termo geral da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fórmula geral da sequência. Olhando para os termos:
1 = 1/1
3/2
5/3
7/4
9/5
A gente percebe que o numerador cresce de 2 em 2 (1, 3, 5, 7, 9, …) e o denominador cresce de 1 em 1 (1, 2, 3, 4, 5, …). Então, a fórmula geral do n-ésimo termo da sequência pode ser escrita como:
an = 2n - 1n

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito. O limite de uma sequência nos diz para qual valor a sequência está se aproximando à medida que $ n $ fica muito grande.
n

Passo 4

Vamos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
2n - 1n = 2nn - 1n = 2 - 1n

Passo 5

Agora, analisamos o que acontece com cada termo à medida que $ n $ cresce sem limite:
  • $ 2 $ permanece constante.
  • $ \frac{1}{n} $ tende a 0 porque, quanto maior $ n $ fica, menor fica o valor de $ \frac{1}{n} $.
Portanto:
n

Resposta

O limite da sequência é 2.

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