E é o espaço vetorial composto pelas funções reais contínuas em R com as operações naturais de soma de funções e multiplicação por número real. Definindo por função par uma função f ∈ E, tal que f(-x) = f(x) para todo x ∈ R, e F como o conjunto formado pelas funções pares, identifique a afirmação correta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui! Temos um espaço vetorial chamado E, que é composto por todas as funções contínuas reais definidas em ℝ. As operações que usamos são a soma de funções e a multiplicação por números reais. Agora, estamos definindo um subconjunto F dentro de E, que contém apenas as funções pares. Uma função é par se, para todo x em ℝ, ela satisfaz f(-x) = f(x). Nosso objetivo aqui é identificar qual afirmação está correta sobre esse conjunto F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para que F seja considerado um subespaço de E, ele precisa cumprir três requisitos básicos:
  1. Conter o vetor zero: A função que é zero em todos os pontos deve estar em F.
  2. Fechado sob soma: Se você pegar duas funções pares e somá-las, o resultado também deve ser uma função par.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma função par por qualquer número real, o resultado deve ser uma função par.

Passo 3

Vamos verificar o primeiro requisito: F contém o vetor zero. A função zero é aquela que, para todo x, f(x) = 0. Se substituirmos -x por x na função zero, temos f(-x) = 0, que é igual a f(x) = 0. Portanto, a função zero está sim em F.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo requisito: Fechamento sob soma. Suponha que temos duas funções pares, f e g, em F. Queremos ver se a soma delas, f + g, também é uma função par.
Calculando:
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x)
Como (f + g)(-x) = (f + g)(x), a soma de duas funções pares é, de fato, uma função par. Então, F é fechado sob soma.

Passo 5

Por último, vamos checar o terceiro requisito: Fechamento sob multiplicação por escalar. Se pegarmos uma função par f em F e multiplicarmos por um número real k, precisamos ver se k·f também é uma função par.
Calculando:
(k cdot f)(-x) = k cdot f(-x) = k cdot f(x) = (k cdot f)(x)
Como (k·f)(-x) = (k·f)(x), a função resultante é par. Portanto, F é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que F satisfaz todos os requisitos para ser um subespaço vetorial de E. Ou seja, o conjunto das funções pares F é um subespaço vetorial do espaço E.

Exercícios relacionados