A Área da região R é dada por: A= ∫∫R dA, sendo a região R= 2 =< x =< 42=< y =< 6. Qual é o valor dessa área?
a) 8 unidades de área
b) 22 unidades de área
c) 10 unidades de área
d) 16 unidades de área
e) 11 unidades de área

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região $ R $ que está delimitada pelas seguintes condições:
  • $ 2 \leq x \leq 4 $
  • $ 2 \leq y \leq 6 $
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que na prática a gente usa para calcular áreas de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ R $. As condições $ 2 \leq x \leq 4 $ e $ 2 \leq y \leq 6 $ formam um retângulo no plano cartesiano. O intervalo de $ x $ vai de 2 a 4, e o de $ y $ vai de 2 a 6.

Passo 3

Agora, para calcular a área usando a integral dupla, a gente tem:
A = integralx=2^4 integraly=2^6 dy , dx
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Então, a integral interna resulta em 4.

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A = integralx=2^4 4 , dx
Isso significa que estamos multiplicando 4 pela largura do intervalo de $ x $.

Passo 6

Resolvemos a integral externa:
integralx=2^4 4 , dx = 4x |2^4 = 4(4) - 4(2) = 16 - 8 = 8

Resposta

A área da região $ R $ é 8 unidades de área. A alternativa correta é a letra a).

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