A Área da região R é dada por: A= ∫∫R dA, sendo a região R= 2 =< x =< 42=< y =< 6. Qual é o valor dessa área?
a) 8 unidades de área
b) 22 unidades de área
c) 10 unidades de área
d) 16 unidades de área
e) 11 unidades de área
a) 8 unidades de área
b) 22 unidades de área
c) 10 unidades de área
d) 16 unidades de área
e) 11 unidades de área
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região $ R $ que está delimitada pelas seguintes condições:
- $ 2 \leq x \leq 4 $
- $ 2 \leq y \leq 6 $
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que na prática a gente usa para calcular áreas de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ R $. As condições $ 2 \leq x \leq 4 $ e $ 2 \leq y \leq 6 $ formam um retângulo no plano cartesiano. O intervalo de $ x $ vai de 2 a 4, e o de $ y $ vai de 2 a 6.
Passo 3
Agora, para calcular a área usando a integral dupla, a gente tem:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Então, a integral interna resulta em 4.
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Isso significa que estamos multiplicando 4 pela largura do intervalo de $ x $.
Passo 6
Resolvemos a integral externa:
Resposta
A área da região $ R $ é 8 unidades de área. A alternativa correta é a letra a).