Calcule a integral de superfície do campo vetorial F(x, y, z) = xy² i + x²y j + y k através da superfície S de um bloco cilíndrico, onde este é limitado por x² + y² ≤ 1 e z = ±1.
a) π
b) 1/4
c) 7π
d) 1/12
e) π/2
a) π
b) 1/4
c) 7π
d) 1/12
e) π/2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem que calcular a integral de superfície de um campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y, z) = xy^2,\mathbf{i} + x^2y,\mathbf{j} + y,\mathbf{k} $ sobre uma superfície cilíndrica limitada por $ x^2 + y^2 \leq 1 $ e $ z = \pm1 $. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de superfície de um campo vetorial $ \mathbf{F} $ sobre uma superfície fechada $ S $ é igual à integral de volume da divergência de $ \mathbf{F} $ dentro do volume $ V $ limitado por $ S $. Ou seja:
Isso facilita bastante nosso cálculo!
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de $ \mathbf{F} $. A divergência é dada pela soma das derivadas parciais dos componentes de $ \mathbf{F} $ em relação às suas variáveis:
Calculando cada termo:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Vamos descrever o volume do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $, e $ z = z $, o cilindro é definido por $ r \leq 1 $ e $ z $ variando de $ -1 $ a $ 1 $. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é $ dV = r, dr, d\theta, dz $.
Passo 5
Agora, configuramos a integral de volume:
Simplificamos porque $ x^2 + y^2 = r^2 $ em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integração em $ r $:
- Integração em $ \theta $:
- Integração em $ z $:
Resposta
a) $ \pi $