A análise das coordenadas x, y e z de cada átomo em NH3 dá a seguinte representação:
C3 v E 2 C3 3 sigmav
A1 1 1 1 z x^2+y^2, z^2
A2 1 1 -1 Rz
E 2 -1 0 (x, y),(Rx, Ry) (x^2-y^2, x y),(x z, y z)
Utilize a tabela de caracteres para este grupo de ponto para chegar a representação redutível ( Gamma ) e a partir dela calcule as contribuições de cada um dos termos nas movimentações da molécula de NH3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as coordenadas x, y e z de cada átomo na molécula de amônia ( NH3) e nos dá uma tabela de caracteres para o grupo de ponto C3v. Nosso objetivo é usar essa tabela para encontrar a representação redutível ( Gamma) das movimentações da molécula e, a partir daí, calcular as contribuições de cada termo nas vibrações da NH3.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de teoria de grupos, como representações e tabelas de caracteres. Também vamos usar a ideia de decompor uma representação redutível em representações irreduzíveis usando a tabela fornecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar todas as movimentações possíveis dos átomos na molécula de NH3. Essas movimentações incluem translações e rotações da molécula inteira, além das vibrações internas.
Na tabela fornecida, cada linha representa uma irreducível do grupo C3v com seus respectivos caracteres para cada classe de operação ( E, 2C3, 3sigmav). As colunas finais mostram como as coordenadas x, y, z e combinações delas transformam sob essas operações.
Vamos montar a representação redutível ( Gamma) somando as contribuições das coordenadas para todas as posições dos átomos.

Passo 3

Para montar Gamma, consideramos que cada átomo contribui com suas coordenadas x, y e z. Como a amônia tem 4 átomos (1 nitrogênio e 3 hidrogênios), vamos multiplicar as contribuições de cada átomo pela quantidade de átomos.
Usando a tabela:
  • Para cada axial (z) temos 1 símbolo A1.
  • Para cada movimento no plano (x e y), temos representações E.
Então, a representação redutível será:
Gamma = A1 + E + A2 + E
Mas precisamos confirmar isso calculando os caracteres para cada operação.

Passo 4

Agora, vamos decompor Gamma em representações irreduzíveis usando a fórmula do produto interno:
ai = 1h sumR chiGamma(R) chii(R)^*
Onde ai é o número de vezes que a representação irreducível i aparece em Gamma, h é a ordem do grupo, chiGamma(R) é o caractere da representação redutível para a operação R, e chii(R)^* é o complexo conjugado do caractere da irreducível i para R.
Calculando para cada irreducível:
  • Para A1:
aA1 = 16(1cdot1 + 2cdot1 + 3cdot1) = 1
  • Para A2:
aA2 = 16(1cdot1 + 2cdot1 + 3cdot(-1)) = 0
  • Para E:
aE = 16(1cdot2 + 2cdot(-1) + 3cdot0) = 0
Então, a representação redutível Gamma decompõe-se em:
Gamma = A1

Resposta

A representação redutível ( Gamma) das movimentações da molécula de NH3 decompõe-se em uma única representação irreduzível A1. Portanto, as contribuições de cada termo nas movimentações da molécula correspondem a:
Gamma = A1

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