A análise das coordenadas x, y e z de cada átomo em dá a seguinte representação:
1 1 1
1 1 -1
2 -1 0
Utilize a tabela de caracteres para este grupo de ponto para chegar a representação redutível ( ) e a partir dela calcule as contribuições de cada um dos termos nas movimentações da molécula de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre as coordenadas x, y e z de cada átomo na molécula de amônia ( ) e nos dá uma tabela de caracteres para o grupo de ponto . Nosso objetivo é usar essa tabela para encontrar a representação redutível ( ) das movimentações da molécula e, a partir daí, calcular as contribuições de cada termo nas vibrações da .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de teoria de grupos, como representações e tabelas de caracteres. Também vamos usar a ideia de decompor uma representação redutível em representações irreduzíveis usando a tabela fornecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar todas as movimentações possíveis dos átomos na molécula de . Essas movimentações incluem translações e rotações da molécula inteira, além das vibrações internas.
Na tabela fornecida, cada linha representa uma irreducível do grupo com seus respectivos caracteres para cada classe de operação ( , , ). As colunas finais mostram como as coordenadas x, y, z e combinações delas transformam sob essas operações.
Vamos montar a representação redutível ( ) somando as contribuições das coordenadas para todas as posições dos átomos.

Passo 3

Para montar , consideramos que cada átomo contribui com suas coordenadas x, y e z. Como a amônia tem 4 átomos (1 nitrogênio e 3 hidrogênios), vamos multiplicar as contribuições de cada átomo pela quantidade de átomos.
Usando a tabela:
  • Para cada axial (z) temos 1 símbolo .
  • Para cada movimento no plano (x e y), temos representações .
Então, a representação redutível será:
Mas precisamos confirmar isso calculando os caracteres para cada operação.

Passo 4

Agora, vamos decompor em representações irreduzíveis usando a fórmula do produto interno:
Onde é o número de vezes que a representação irreducível aparece em , é a ordem do grupo, é o caractere da representação redutível para a operação , e é o complexo conjugado do caractere da irreducível para .
Calculando para cada irreducível:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a representação redutível decompõe-se em:

Resposta

A representação redutível ( ) das movimentações da molécula de decompõe-se em uma única representação irreduzível . Portanto, as contribuições de cada termo nas movimentações da molécula correspondem a:

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Construa a tabela de caracteres do grupo de ponto .
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