Construa a tabela de caracteres do grupo de ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir a tabela de caracteres do grupo de ponto . Isso faz parte da Teoria de Grupos em Química, que ajuda a entender as simetrias das moléculas. Pra resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de classes de simetria, operações de simetria e como identificar os caracteres dessas operações para diferentes representações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as operações de simetria que pertencem ao grupo . Esse grupo representa simetrias de um quadrado, por exemplo. As operações são:
  1. E: Identidade (não faz nada).
  2. : Rotação de 90°.
  3. : Rotação de 270° (ou -90°).
  4. : Rotação de 180° (que é aplicado duas vezes).
  5. : Reflexão vertical.
  6. : Reflexão diagonal.

Passo 3

Agora, vamos organizar essas operações em classes de equivalência, que são conjuntos de operações que são conjugadas entre si (ou seja, que têm o mesmo efeito geométrico). Para , temos as seguintes classes:
  1. [E]: Contém apenas a identidade.
  2. [ ]: Rotação de 90° e 270°.
  3. [ ]: Rotação de 180°.
  4. [ ]: Reflexões verticais.
  5. [ ]: Reflexões diagonais.

Passo 4

A próxima etapa é determinar as irreducíveis representações desse grupo. Para , temos 5 classes de simetria, então teremos 5 irreducíveis representações. Vamos nomeá-las como e .

Passo 5

Agora, precisamos preencher a tabela de caracteres. Os caracteres correspondem aos traços das matrizes de representação das operações nas diferentes irreducíveis representações. Para grupos como , a tabela é conhecida, mas vamos entendê-la:
1 1 1 1 1
1 1 1 -1 -1
1 -1 1 1 -1
1 -1 1 -1 1
2 0 -2 0 0

Resposta

Pronto! A tabela de caracteres do grupo de ponto está construída conforme mostrado acima.

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1 1 1
1 1 -1
2 -1 0
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