Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique. Nesse exercício, não use a regra de L(o) lim x 0 1-cos xsen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Isso envolve entender limites de funções trigonométricas. Para resolver isso sem usar a regra de L’Hôpital, vamos aproveitar algumas aproximações importantes das funções trigonométricas perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das aproximações de Taylor para cos x approx 1 - x^22 e quando sen x approx x está próximo de 0:
Essas aproximações são super úteis porque simplificam as expressões e facilitam o cálculo do limite.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão do limite:
Então, a expressão simplifica para 1 - cos xsen x approx 1 - (1 - x^22)x = x^22x = x2 .

Passo 4

Por último, calculamos o limite dessa expressão simplificada quando limx to 0 x2 = 0 tende a 0:
Ou seja, conforme se aproxima de zero, também se aproxima de zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

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