Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
(b) lim x 5^+ arcsen(5-x)raizx-raiz5

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de 5 pela direita ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e, provavelmente, a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 5:
  • Numerador:
    • Quando , , então .
  • Denominador:
    • Quando , , então .
Então, temos uma forma indeterminada , o que indica que podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se resulta em ou , podemos calcular , assumindo que esse novo limite exista.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra de L’Hôpital calculando as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do Numerador: f'(x) = ddx arcsen(5 - x) = -1raiz1 - (5 - x)^2
    g'(x) = ddx (raizx - raiz5) = 12raizx
  • Derivada do Denominador: limx to 5^+ arcsen(5-x)raizx-raiz5 = limx to 5^+ f'(x)g'(x) = limx to 5^+ -1raiz1 - (5 - x)^212raizx = limx to 5^+ -2raizxraiz1 - (5 - x)^2
    -2raiz5raiz1 - (5 - 5)^2 = -2raiz5raiz1 = -2raiz5
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, substituímos por 5:

Resposta

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