Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique. Nesse exercício, não use a regra de L(f) lim x 0^- xraiz1-cos x

Passo 1

Beleza, vamos analisar o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como o cosseno se comporta perto de zero e usar algumas aproximações trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 1 - cos x = 2 sin^2(x2) . Sabemos que para valores pequenos de xraiz1 - cos x = xraiz2 sin^2(x2) = xraiz2 cdot |sin(x2)| , xraiz2 cdot (-sin(x2)) = -xraiz2 sin(x2) pode ser aproximado usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo isso na nossa expressão original, temos:
Como estamos lidando com , será negativo, então podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para valores próximos de zero, sin(x2) approx x2 . Aplicando isso, temos:
-xraiz2 cdot x2 = -xraiz2 cdot 2x = -2raiz2
Substituindo na nossa expressão:

Passo 4

Simplificando -2raiz2 = -raiz2 :

Resposta

lim x 0^- xraiz1-cos x = -raiz2

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