Verifique que a função
é contínua em um único ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a função
é contínua em apenas um ponto. Aqui, estamos lidando com funções definidas por partes e o conceito de continuidade. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como verificar a continuidade de uma função em um ponto específico, analisando os limites laterais e o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, para saber onde a função
é contínua, precisamos encontrar os pontos
onde essas três condições são satisfeitas.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Ela é definida de duas maneiras:
- Se
é um número racional ( ), então . - Se
é um número irracional ( ), então .
Isso significa que, próximo a qualquer ponto
, podemos ter sequências de números racionais e irracionais se aproximando de
, fazendo com que
varie entre
e
.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade em um ponto específico
.
Primeiro, calculamos
:
- Se
for racional, . - Se
for irracional, .
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
- Se
se aproxima de através de racionais, o limite será . - Se
se aproxima de através de irracionais, o limite será .
Para que o limite exista, esses dois valores devem ser iguais. Então:
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Então, a única solução é
. Isso significa que somente no ponto
os limites laterais coincidem e igualam
.
Resposta
A função
é contínua apenas no ponto
.
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(d)
(d)
Encontre a derivada
para cada função abaixo:
(d)
(d)