Verifique que a função
é contínua em um único ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a função
é contínua em apenas um ponto. Aqui, estamos lidando com funções definidas por partes e o conceito de continuidade. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como verificar a continuidade de uma função em um ponto específico, analisando os limites laterais e o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, para saber onde a função é contínua, precisamos encontrar os pontos onde essas três condições são satisfeitas.

Passo 3

Vamos analisar a função . Ela é definida de duas maneiras:
  • Se é um número racional ( ), então .
  • Se é um número irracional ( ), então .
Isso significa que, próximo a qualquer ponto , podemos ter sequências de números racionais e irracionais se aproximando de , fazendo com que varie entre e .

Passo 4

Vamos verificar a continuidade em um ponto específico .
Primeiro, calculamos :
  • Se for racional, .
  • Se for irracional, .
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de :
  • Se se aproxima de através de racionais, o limite será .
  • Se se aproxima de através de irracionais, o limite será .
Para que o limite exista, esses dois valores devem ser iguais. Então:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Então, a única solução é . Isso significa que somente no ponto os limites laterais coincidem e igualam .

Resposta

A função é contínua apenas no ponto .

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(d)