Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique. Nesse exercício, não use a regra de L(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com conceitos de limites em Cálculo, especificamente analisando o comportamento da função quando
se aproxima de
pela direita. Vamos precisar entender como a função tangente se comporta perto de
e usar algumas aproximações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
se aproximar de
pela direita, ou seja,
. Isso quer dizer que
está vindo um pouquinho acima de
, como
onde
é um número muito pequeno e positivo (vamos deixar
).
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na expressão do limite:
Passo 4
Sabemos que a tangente tem uma propriedade interessante:
. Isso porque a tangente tem período
, ou seja, repete seus valores a cada
unidades.
Passo 5
Substituindo isso na nossa expressão:
Agora, precisamos lembrar que quando
é muito pequeno,
. Essa é uma aproximação comum em limites e é baseada no fato de que para ângulos próximos de zero, seno e tangente são aproximadamente iguais ao próprio ângulo (em radianos).
Passo 6
Então, substituindo
por
:
Resposta
O limite
é igual a 1.
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Verifique que a função
é contínua em um único ponto.
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(d)
(d)