Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique. Nesse exercício, não use a regra de L(l)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas, especialmente o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos limites envolvendo funções trigonométricas, como .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a aplicação dessa propriedade. Podemos multiplicar e dividir por tanto no numerador quanto no denominador:

Passo 3

Agora, vamos separar os limites:

Passo 4

Vamos resolver cada limite separadamente:
  1. (porque para qualquer constante )
  2. (os cancelam e sobra a constante)
  3. (mesma lógica do primeiro limite)

Passo 5

Agora, multiplicamos os resultados dos três limites:

Resposta

O limite quando se aproxima de 0 de é .

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Encontre a derivada para cada função abaixo:
(k)