Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique. Nesse exercício, não use a regra de L(j) lim x 0 sen 2 x4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente, vamos usar propriedades trigonométricas e limites fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de zero e usar algumas regras básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que é uma função trigonométrica que nos dá a razão do seno de um ângulo. Quando limx 0 sen xx = 1 se aproxima de zero, sabemos que se comporta de forma muito próxima a próprio. Isso é importante porque existe um limite fundamental:
Esse limite nos diz que, para valores de bem pequenos, é aproximadamente igual a .

Passo 3

Agora, vamos adaptar esse limite fundamental para o nosso caso. Temos em vez de , então vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar limx 0 sen 2x4x = limu 0 sen u4 cdot u2 = limu 0 sen u2u . Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.
Substituindo, temos:

Passo 4

Agora, aplicamos o limite fundamental que mencionamos anteriormente:
Portanto:

Resposta

O limite é igual a .

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