Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos o limite quando se aproxima de pela direita da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador do primeiro termo, que é . A fatoração de um polinômio quadrático envolve encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão .
No nosso caso:
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos reescrever o polinômio:
Portanto, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos juntar as duas frações em uma única fração. Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é .
Reescrevendo as frações:
Somando os numeradores:

Passo 4

Perceba que no numerador temos um fator comum :
Podemos simplificar essa expressão cancelando , desde que :

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite diretamente substituindo :

Resposta

Portanto, o limite é .

Exercícios relacionados

Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
Em cada caso a seguir, estude a continuidade de no ponto . Fique atento se , pois só está definido nesse caso.
.
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função que é:
perpendicular à reta de equação .
Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de para os quais .