Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
lim t -2^+(53 t^2+7 t+2+1t+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos o limite quando lim t -2^+(53 t^2+7 t+2+1t+2) se aproxima de pela direita da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar fatorar os polinômios e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador do primeiro termo, que é 3 t^2 + 6 t + t + 2 = 3t(t + 2) + 1(t + 2) = (3t + 1)(t + 2) . A fatoração de um polinômio quadrático 5(3t + 1)(t + 2) + 1t + 2 envolve encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão .
No nosso caso:
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, podemos reescrever o polinômio:
Portanto, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos juntar as duas frações em uma única fração. Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é 5(3t + 1)(t + 2) + 1t + 2 = 5(3t + 1)(t + 2) + (3t + 1)(3t + 1)(t + 2) .
Reescrevendo as frações:
5 + (3t + 1)(3t + 1)(t + 2) = 3t + 6(3t + 1)(t + 2)
Somando os numeradores:

Passo 4

Perceba que no numerador temos um fator comum 3(t + 2)(3t + 1)(t + 2) :
33t + 1
Podemos simplificar essa expressão cancelando , desde que :

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite diretamente substituindo 33(-2) + 1 = 3-6 + 1 = 3-5 = -35 :

Resposta

Portanto, o limite é .

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