Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função que é:
perpendicular à reta de equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função que seja perpendicular à reta . Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a um gráfico. A reta tangente toca o gráfico da função em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação (coeficiente angular) da função nesse ponto. Para encontrar essa reta, precisamos determinar onde a derivada da função (que nos dá a inclinação da tangente) resulta na inclinação que desejamos.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a inclinação da reta . Podemos reescrever essa equação na forma padrão :
Então, o coeficiente angular dessa reta é .

Passo 4

Como queremos uma reta perpendicular a essa, precisamos lembrar que processos retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos inversos um do outro. Ou seja, se uma reta tem inclinação , a reta perpendicular terá inclinação .
Então, a inclinação da nossa reta tangente será:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto :

Passo 6

Sabemos que a inclinação da reta tangente deve ser . Então, igualamos a derivada a e resolvemos para :

Passo 7

Com o valor de encontrado, vamos calcular o valor de nesse ponto para encontrar as coordenadas do ponto de tangência:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 8

Agora, temos a inclinação e um ponto . Vamos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 9

Vamos simplificar essa equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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