Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função
que é:
perpendicular à reta de equação
.
perpendicular à reta de equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
que seja perpendicular à reta
. Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a um gráfico. A reta tangente toca o gráfico da função em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação (coeficiente angular) da função nesse ponto. Para encontrar essa reta, precisamos determinar onde a derivada da função (que nos dá a inclinação da tangente) resulta na inclinação que desejamos.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a inclinação da reta
. Podemos reescrever essa equação na forma padrão
:
Então, o coeficiente angular
dessa reta é
.
Passo 4
Como queremos uma reta perpendicular a essa, precisamos lembrar que processos retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos inversos um do outro. Ou seja, se uma reta tem inclinação
, a reta perpendicular terá inclinação
.
Então, a inclinação da nossa reta tangente será:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
:
Passo 6
Sabemos que a inclinação da reta tangente deve ser
. Então, igualamos a derivada a
e resolvemos para
:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, vamos calcular o valor de
nesse ponto para encontrar as coordenadas do ponto de tangência:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 8
Agora, temos a inclinação
e um ponto
. Vamos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 9
Vamos simplificar essa equação para a forma
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
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.