Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Esse exercício envolve conceitos de limites em funções racionais. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como simplificar frações, verificar o comportamento do numerador e denominador quando
se aproxima de um valor específico, e identificar se o limite tende ao infinito ou a algum número real.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 1:
-
Numerador:Substituindo
: -
Denominador:Substituindo
:
Percebi que o denominador se aproxima de 0, então precisamos investigar mais a fundo.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão:
-
Numerador:Para fatorar, encontramos dois números que multiplicados dão
e somados dão . Esses números são e . Então, -
Denominador:Isso é um quadrado perfeito:
Passo 4
Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Podemos simplificar cancelando um
do numerador e do denominador:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite da expressão simplificada quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Substituindo
:
- Numerador:
- Denominador:
Então, a expressão se aproxima de
. Mas precisamos considerar o sinal do denominador quando
se aproxima de 1 pela direita.
Passo 6
Quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
- Denominador:
é positivo e muito pequeno.
Portanto,
resulta em um valor muito grande positivo.
No entanto, lembrando do passo anterior, a expressão simplificada foi
, e ao fatorar inicialmente, tínhamos cancelado um
, que estava ao numerador como
. Isso implica que na expressão original, o limite tende a
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso a seguir, estude a continuidade de
no ponto
. Fique atento se
, pois
só está definido nesse caso.
;
Verifique se é possível usar a regra de L
Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
Determine para quais pontos
a reta tangente ao gráfico da função
é paralela ao eixo das abcissas.