Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.

Passo 1

Vamos analisar o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites em funções racionais. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como simplificar frações, verificar o comportamento do numerador e denominador quando se aproxima de um valor específico, e identificar se o limite tende ao infinito ou a algum número real.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 1:
  • Numerador:
    Substituindo :
  • Denominador:
    Substituindo :
Percebi que o denominador se aproxima de 0, então precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão:
  • Numerador:
    Para fatorar, encontramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
    Então,
  • Denominador:
    Isso é um quadrado perfeito:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
Podemos simplificar cancelando um do numerador e do denominador:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite da expressão simplificada quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, a expressão se aproxima de . Mas precisamos considerar o sinal do denominador quando se aproxima de 1 pela direita.

Passo 6

Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
  • Denominador: é positivo e muito pequeno.
Portanto, ú resulta em um valor muito grande positivo.
No entanto, lembrando do passo anterior, a expressão simplificada foi , e ao fatorar inicialmente, tínhamos cancelado um , que estava ao numerador como . Isso implica que na expressão original, o limite tende a .

Resposta

O limite é .

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;
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