Verifique se é possível usar a regra de L lim x -2 x+2x^2-x-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se dá pra usar a regra de L’Hôpital para calcular o limite . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites e a aplicação da regra de L’Hôpital. Vamos precisar verificar o tipo de limite que temos e se ele se encaixa nos casos onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir (-2)+2(-2)^2 - (-2) -6 = 04 + 2 -6 = 00 na expressão para ver de que forma o limite se apresenta:
A gente obteve a forma indeterminada , que é exatamente um dos casos em que a regra de L’Hôpital pode ser utilizada.

Passo 3

Agora que sabemos que estamos na forma lim x c f'(x)g'(x) , podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se resulta em ou , então podemos calcular:
Ou seja, derivamos o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
f(x) = x + 2 Rightarrow f'(x) = 1
g(x) = x^2 - x -6 Rightarrow g'(x) = 2x -1
Então, a gente tem que calcular agora:
lim x -2 12x -1

Passo 5

Substituindo 12(-2) -1 = 1-4 -1 = 1-5 = -15 na nova expressão:

Resposta

O limite é .

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