Determine para quais pontos (x0, f(x0)) a reta tangente ao gráfico da função f é paralela ao eixo das abcissas.
f(x) = 1/(x-1) + x/4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo das abscissas (eixo ). Isso está ligado ao estudo de derivadas na matéria de Cálculo, especificamente àquelas que determinam a inclinação das tangentes a uma curva. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e descobrir onde ela é igual a zero, já que uma reta paralela ao eixo tem inclinação zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada, denotada por , nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Vamos derivar cada termo separadamente:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , queremos encontrar os valores de onde essa derivada é igual a zero, porque isso significa que a inclinação da tangente é zero (ou seja, a reta é horizontal e paralela ao eixo ).
Então, vamos resolver a equação:

Passo 4

Vamos isolar o termo que contém :
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos inverter ambos os lados para resolver para :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, temos duas soluções para :

Passo 5

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os pontos correspondentes .
Para :
Então, um ponto é .
Para :
Então, o outro ponto é .

Resposta

Os pontos são e .

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