Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
lim x 3^+ x+2x^2-x-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, vamos trabalhar com a matéria de limites, especificamente analisando o comportamento da função quando se aproxima de 3 pela direita (ou seja, valores maiores que 3). Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e avaliar o comportamento do numerador e do denominador nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e +2. Então, o denominador pode ser escrito como:
x+2(x - 3)(x + 2)
Agora nossa expressão fica:

Passo 3

Observamos que o termo x+2(x - 3)(x + 2) = 1x - 3, desde que x neq -2 aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
Como estamos analisando o limite quando se aproxima de 3, e 3 não é igual a -2, podemos simplificar dessa forma sem problemas.

Passo 4

Agora, a expressão simplificada é . Vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 3 pela direita ( ). Se for um pouco maior que 3, por exemplo, 3.1, então será um número pequeno positivo, como 0.1. À medida que se aproxima mais de 3 pela direita, se aproxima de 0 pelo lado positivo, fazendo com que cresça sem limite, ou seja, tende ao infinito positivo.

Resposta

lim x 3^+ x+2x^2-x-6 = +infty

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