Em cada caso a seguir, estude a continuidade de no ponto . Fique atento se , pois só está definido nesse caso.
;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos analisar se ela é contínua no ponto . Para isso, precisamos entender o conceito de continuidade e verificar se todos os critérios para continuidade são atendidos nesse ponto específico.

Passo 2

Domínio da função: Antes de mais nada, precisamos verificar se o ponto pertence ao domínio da função . O domínio de são todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida para todos os diferentes de zero, já que o denominador não pode ser zero. Portanto, . Como não é zero, ele pertence ao domínio .

Passo 3

Definição de continuidade: Uma função é contínua no ponto se as seguintes três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Como já verificamos que está no domínio, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Calculando :
Então, .

Passo 5

Calculando o limite de quando se aproxima de 2:
Vamos analisar esse limite. Quando se aproxima de 2, se aproxima de 0. O denominador se aproxima de .
Portanto:

Passo 6

Comparando o limite com :
Os dois valores são iguais.

Resposta

A função é contínua no ponto , já que está definida, o limite quando se aproxima de 2 existe e é igual a .

Exercícios relacionados

Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de para os quais .
Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de para os quais .
Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.