Em cada caso a seguir, estude a continuidade de
no ponto
. Fique atento se
, pois
só está definido nesse caso.
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos analisar se ela é contínua no ponto
. Para isso, precisamos entender o conceito de continuidade e verificar se todos os critérios para continuidade são atendidos nesse ponto específico.
Passo 2
Domínio da função: Antes de mais nada, precisamos verificar se o ponto
pertence ao domínio da função
. O domínio
de
são todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
está definida para todos os
diferentes de zero, já que o denominador não pode ser zero. Portanto,
. Como
não é zero, ele pertence ao domínio
.
Passo 3
Definição de continuidade: Uma função
é contínua no ponto
se as seguintes três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Como já verificamos que
está no domínio, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Calculando
:
Então,
.
Passo 5
Calculando o limite de
quando
se aproxima de 2:
Vamos analisar esse limite. Quando
se aproxima de 2,
se aproxima de 0. O denominador
se aproxima de
.
Portanto:
Passo 6
Comparando o limite com
:
Os dois valores são iguais.
Resposta
A função
é contínua no ponto
, já que
está definida, o limite quando
se aproxima de 2 existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de
para os quais
.
Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de
para os quais
.
Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.