Determine para quais pontos a reta tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo das abcissas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os pontos no gráfico da função onde a reta tangente é paralela ao eixo das abcissas. Isso significa que a inclinação da reta tangente nesse ponto deve ser zero. Para encontrar isso, vamos precisar calcular a derivada da função e resolver quando ela é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de em relação a . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A função que temos é um produto de duas funções: e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto:

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos e na regra do produto:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Para facilitar, podemos fatorar :

Passo 6

Queremos que a derivada seja igual a zero para que a reta tangente seja paralela ao eixo das abcissas:
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero. Então, temos duas possibilidades:

Passo 7

Primeiro, resolvemos :
Agora, resolvemos :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Resposta

Os pontos onde a reta tangente ao gráfico de é paralela ao eixo das abcissas são e . Calculando:
Portanto, os pontos são e .

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Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
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Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de para os quais .
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