Determine para quais pontos
a reta tangente ao gráfico da função
é paralela ao eixo das abcissas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os pontos
no gráfico da função
onde a reta tangente é paralela ao eixo das abcissas. Isso significa que a inclinação da reta tangente nesse ponto deve ser zero. Para encontrar isso, vamos precisar calcular a derivada da função
e resolver quando ela é igual a zero.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de
em relação a
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. A função que temos é um produto de duas funções:
e
. Para derivar o produto, usamos a regra do produto:
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na regra do produto:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Para facilitar, podemos fatorar
:
Passo 6
Queremos que a derivada seja igual a zero para que a reta tangente seja paralela ao eixo das abcissas:
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero. Então, temos duas possibilidades:
Passo 7
Primeiro, resolvemos
:
Agora, resolvemos
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Resposta
Os pontos onde a reta tangente ao gráfico de
é paralela ao eixo das abcissas são
e
. Calculando:
Portanto, os pontos são
e
.
Exercícios relacionados
Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
Analise com cuidado cada um dos limites abaixo. Quando possível calcule-os, caso contrário justifique.
Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de
para os quais
.
Dadas as funções abaixo, determine, se possível, os valores de
para os quais
.